Следующим приближенным к реальному сигналу является допущение о том, что заранее неизвестна и амплитуда сигнала.
Пусть сигнал характеризуется неизвестными заранее амплитудой А и начальной фазой ψ0. При неизвестной начальной фазе апостериорная вероятность появления сигнала равна
,
где М – мгновенное значение огибающей напряжения на выходе согласованного фильтра при наличии и сигнала и шума;
W(uc) – априорная вероятность появления одного возможного сигнала с известным параметрами.
Если амплитуда подвержена случайным изменениям, то необходимо учитывать априорные сведения не только о самом сигнале в целом, но и отдельно о его амплитуде. Примем предположение о релеевском распределении амплитуд сигнала и допустим, что в течение времени обнаружения амплитуда сигнала (или группы сигналов) не меняется. Следовательно,
,
где А0 – среднее значение амплитуды сигнала.
Энергия одиночного сигнала равна
,
и для среднего значения амплитуды
.
Разумно допустить предположение о независимости априорных вероятностей появления сигнала и нахождения его амплитуды в некотором интервале dA. Будем считать, что априорная вероятность появления сигнала с амплитудой, лежащей в интервале А1÷(А1+dА), равна произведению априорной вероятности появления (и отсутствия) сигнала и априорной вероятности попадания амплитуды в указанный интервал
.
При этом апостериорная вероятность сигнала с амплитудой А будет равна
.
(5.30)
Для исключения из формулы (5.30) случайно изменяющегося параметра и получения выражений, определяющих структуру приёмника, проинтегрируем (5.30) по амплитуде в пределах от 0 до ∞
.
Записанный интеграл является табличным вида
,
где ; ; .
Следовательно, апостериорная вероятность существования сигнал равна
,
соответственно апостериорная вероятность отсутствия сигнала
.
В достаточном приёмнике следует сравнивать логарифмы обеих апостериорных вероятностей, т.е. сопоставлять
Единственными принципиальными операциями в оптимальном приёмнике являются: во-первых, образование огибающей (М) выходного напряжения на выходе согласованного фильтра (рис.5.4) или квадрата этой величины (М2) в двухканальном устройстве обработки (рис.5.3) и, во-вторых, сравнение полученной величины с порогом.
Учёт случайных изменений амплитуды сигнала не приводит к изменению схемы оптимального приёмника. Изменяется лишь значение порога, при котором достигается минимум вероятности ошибки или максимум вероятности правильного ответа, если с порогом сравнивается величина М; если образуется М2, то её нужно сравнивать с β2опт:
.
Величины Wпо, Wлт и q0ср (среднее значение отношения сигнал/шум на входе приёмника) при обнаружении сигнала с неизвестными амплитудами и фазой связаны простым соотношением