Решение типового примера задания 10 РГР
Исследовать функцию и построить ее график.
План исследования: 1) найти область существования функции; 2) найти точки разрыва и ее односторонние пределы в точках разрыва; 3) выяснить, является ли данная функция четной или нечетной; 4) найти точки экстремума и определить интервалы возрастания и убывания; 5) найти точки перегиба и определить интервалы выпуклости и вогнутости; 6) найти асимптоты графика; 7) построить график функции, дополнительно определив точки пересечения с осями координат.
Решение. 1) Областью определения функции является множество всех вещественных чисел, кроме , при котором обращается в нуль знаменатель, то есть .
2) Исследуем функцию на непрерывность. Найдем односторонние пределы в точках .
; . ; .
В точках функция имеет разрыв 2-го рода.
3) Установим четность и нечетность функции.
; .
Так как , функция является четной, то есть она симметрична относительно оси .
4) Для нахождения точек экстремума вычислим первую производную:
.
Дробь равна нулю, когда равен нулю числитель. ; – точка возможного экстремума. Как видно, при первая производная отрицательна, а при – положительна. В точке первая произ-водная меняет свой знак с на . Значит, функция имеет минимум:
.
5) Выясним, есть ли точки перегиба и определим интервалы выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную.
.
Приравняем нулю вторую производную: . .
График исследуемой функции не имеет точек перегиба.
Разобьем числовую ось на три интервала: , , .
Установим характер кривизны в этих интервалах:
6) Определим асимптоты графика. Прямые являются вертикальными асимптотами. Используя соответствующие формулы, выясним вопрос о наличии горизонтальной и наклонной асимптоты.
.
.
Прямая – горизонтальная асимптота. Наклонных асимптот нет.
7) Точек пересечения с осями координат нет. Построим график функции.
Задания для расчетно-графической работы
Задание 1
Найти указанные пределы
1.1. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
1.2. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
1.3. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
1.4. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
1.5. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
1.6. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
1.7. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
1.8. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
1.9. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
1.10. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
1.11. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
1.12. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
1.13. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
1.14. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
1.15. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
1.16. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
1.17. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
1.18. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
1.19. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
1.20. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
1.21. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
1.22. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
1.23. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
1.24. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
1.25. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
1.26. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
1.27. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
1.28. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
1.29. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
1.30. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
Задание 2
Дана функция.Найтиточки разрыва, односторонние пределы в точках разрыва и указать тип разрыва. В задании б) определить скачек функции в точке разрыва и построить график.
2.1. а) ; б)
2.2. а) ; б)
2.3. а) ; б)
2.4. а) ; б)
2.5. а) ; б)
2.6. а) ; б)
2.7. а) ; б)
2.8. а) ; б)
2.9. а) ; б)
2.10. а) ; б)
2.11. а) ; б)
2.12. а) ; б)
2.13. а) ; б)
2.14. а) ; б)
2.15. а) ; б)
2.16. а) ; б)
2.17. а) ; б)
2.18. а) ; б)
2.19. а) ; б)
2.20. а) ; б)
2.21. а) ; б)
2.22. а) ; б)
2.23. а) ; б)
2.24. а) ; б)
2.25. а) ; б)
2.26. а) ; б)
2.27. а) ; б)
2.28. а) ; б)
2.29. а) ; б)
2.30. а) ; б)
Задание 3
Найти производные пользуясь формулами и правилами дифференцирования.
3.1. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
3.2. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
3.3. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
3.4. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
3.5. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
3.6. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
3.7. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
3.8. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
3.9. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
3.10. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
3.11. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
3.12. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
3.13. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
3.14. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
3.15. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
3.16. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
3.17. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
3.18. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
3.19. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
3.20. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
3.21. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
3.22. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
3.23. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
3.24. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
3.25. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
3.26. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
3.27. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
3.28. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
3.29. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
3.30. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
Задание 4
Найти производные пользуясь формулами и правилами диффе-ренцирования. В пункте е) найти также производную второго порядка .
4.1. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
4.2. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
4.3. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
4.4. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
4.5. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
4.6. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
4.7. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
4.8. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
4.9. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
4.10. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
4.11. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
4.12. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
4.13. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
4.14. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
4.15. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
4.16. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
4.17. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
4.18. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
4.19. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
4.20. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
4.21. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
4.22. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
4.23. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
4.24. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
4.25. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
4.26. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
4.27. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
4.28. а) ; б) ; в) ;
г)
Поиск по сайту:
|