Валы оси с насаженными деталями под действием периодически меняющихся сил совершают вынужденные колебания. Крутильные колебания валов и изгибных валов и осей — одна из причин нарушения нормального действия передаточных механизмов. Эти колебания особенно опасны в резонансной зоне, когда частоты собственных и вынужденных колебаний совпадают.
Рассмотрим вращение вала с насаженным на него диском (рис. 22.18, а). Под действием силы тяжести G диска (или другой постоянной силы) вал прогнется на величину 5, вследствие чего при вращении с угловой скоростью ю возникает центробежная сила инерции FH = mG( 2 , где mG— масса диска (массу вала обычно не учитывают). Сила Fnвызовет дополнительный прогиб вала на величину . Общий прогиб вала с насаженным посредине диском
где с = 48ЕJ·l3 - коэффициент жесткости вала при изгибе. Подставив в формулу (20.2l) значения Fии G = mG·g, получим
Когда на вал насажено зубчатое колесо, то кроме силы тяжести на вал действуют силы в зацеплении и общий прогиб показывается равным
Из формул (22.22), (22.23) следует, что при стремлении 2 к c/mGпрогиб 8с резко возрастает. Практически это означает, что в случае равенства
прогиб вала имеет хотя и конечное, но относительно большое значение, что может привести к его разрушению.
Угловая скорость wкр1, определяемая по условию (22.24), называется первой критической угловой скоростью вала или первой собственной частотой вала. Вращение вала со скоростью wкр1 ведет к резонансным явлениям, следствие которых - чрезмерное увеличение прогиба вала (амплитуда колебаний) и его разрушение. После того как угловая скорость вала со становится больше сwкр1, прогибы уменьшаются (рис. 22.18,6); чем быстрее осуществляется переход через критическую скорость, тем безопаснее условия работы вала.
Для валиков малых диаметров, широко применяемых в точных механизмах, коэффициенты жесткости с имеют относительно небольшие значения, поэтому критическая угловая скорость часто находится в диапазоне рабочих угловых скоростей.
При уточненных расчетах критической угловой скорости массу вала mв учитывают, применяя метод Рэлея [23]. Тогда выражение для кр1 примет вид
Если зубчатое колесо насажено на вал не посредине, то поворот сечения под колесом при изгибе приводит к возникновению гироскопического изгибающего момента» Пренебрежение этим моментом приводит к снижению расчетного значения критической угловой скорости.
Реальная колеблющаяся механическая система имеет бесконечное число собственных частот и критических угловых скоростей. Но влияние высших частот w колебания быстро уменьшается, поэтому при практических расчетах рассматривают лишь три первые собственные частоты. Рабочими диапазонами для вала являются следующие угловые скорости :
где кр2 и кр3—соответственно вторая и третья критические скорости. Первая критическая скорость определяется по формуле (22.24); значение второй и третьей критических скоростей чаще всего получают не из аналитического расчета, а из эксперимента. На значение первой критической скорости влияют тип опор и изгибающая нагрузка F. Учесть это влияние можно с помощью номограммы (рис. 22.19), которая построена для стальных валов
и связывает критическую частоту вращения nкр = 30 кр1/ с расстоянием l между опорами (или с вылетом l консоли), силой F, изгибающей вал, и диаметром d вала (в качестве параметра d для ступенчатого вала принимают расчетный диаметр гладкого вала, эквивалентный в отношении изгибной жесткости реальному валу). На шкале 1 отложены значения пкрдля вала с подшипниками, не имеющими возможности самоустановки, на шкале 2 - для вала на самоустанавливающихся или очень коротких подшипниках. На шкале 3 отложены значения пкрдля консольного вала. С помощью номограммы можно по любым трем заданным параметрам найти значение четвертой величины. Рассмотрим использование номограмм на примерах.
Пример 22.6.С помощью номограммы рис. 22.19 найти критическую частоту вращения вала, на консоль которого посажено зубчатое колесо. Исходные данные: d = 2,8 мм; l = 14 мм; F = 20 H.
Решение. Соединяем прямой линией точки d = 2,8 на шкале 3 с точкой F=20 на шкале 5. Эта линия пересекается (см. рис. 22.19) с вертикальной прямой 4 в точке А. Затем проводим прямую через точки А и l =14 (шкала 5 до пересечения со шкалой 3; точке пересечения соответствует значение критической частоты nкр = 6500 об/мин.
Пример 22.7.Найти критическую частоту вращения для вала на двух опорах с насаженным посредине шкивом круглоременной передачи. Исходные данные: d = 2,8 мм; l = 35 мм; F = 20 H.
Решение. Прямая от точки d = 2,8 (шкала 3) до точки F = 20 (шкала 5) та же, что и в предыдущем примере. Через точку А и точку l = 35 на шкале 5 проводим прямую до пересечения со шкалой 3, затем в этой точке восстанавливаем перпендикуляр к линии шкалы 3. Если опоры не самоустанавливаются, то по шкале 1 считываем значение nкр =12000 об/мин. Для самоустанавливающихся опор на шкале 2 имеем nкр = 6000 об/мин.
Критические скорости при крутильных колебаниях валов - рассчитывают аналогично. Значение низшей критической скорости в. первом приближении
где ск - коэффициент крутильной жесткости всеговала, определяемый из формул (22.17) и (22.18):
Js - момент инерции (динамический) вала с насаженными на него деталями.
Формула (22.25) перепишется в виде
если принять ск — в Н·мм/рад, G — в МПа, Jх—в кг·мм2.