Рассмотрим движение электрона под действием внешнего электрического поля. Предположим сначала, что мы имеем дело со свободным электроном, помещенным в однородное электрическое поле .
Со стороны поля на электрон действует сила .
Под действием этой силы он приобретает ускорение
Здесь m – масса электрона.
Вектор ускорения направлен против поля .
получим уравнение движения электрона, находящегося в периодическом поле кристалла. Внешнее поле действует на электрон в кристалле также, как на свободный электрон, с силой , направленной против поля.
В случае свободного электрона сила была единственной силой, определяющей характер движения частицы.
На электрон же, находящийся в кристалле, кроме силы действуют значительные внутренние силы, создаваемые периодическим полем решетки. Поэтому движение этого электрона является более сложным, чем движение свободного электрона.
Движение электрона в кристалле можно описать с помощью волнового пакета, составленного из блоховских функций.
Средняя скорость движения электрона равна групповой скорости волнового пакета: . Учитывая, что для групповой скорости получаем (4.19)
где - квазиимпульс.
Видим, что средняя скорость электрона в твердом теле определяется законом дисперсии E(). Продифференцируем (4.19) по времени: (4.20)
За время электрическое поле совершит работу , которая идет на приращение энергии электрона: .
Учитывая, что
получаем , или (4. 21)
Последнее выражение представляет собой уравнение движения электрона в кристалле.
В этом случае произведение (dk/dt) равно силе , действующей на электрон со стороны внешнего электрического поля.
Для свободного электрона внешняя сила равна произведению .
Toт факт, что для электрона в кристалле уравнение движения не имеет привычной формы второго закона Ньютона, не означает, что закон Ньютона здесь не выполняется. Все дело в том, что уравнение движения мы записали только с учетом внешних сил, действующих на электрон, и не учли силы, действующие со стороны периодического поля кристалла.
Поэтому уравнение движения не имеет обычного вида .
Подставим теперь dk/dt, найденное из (4.21), в выражение для ускорения (4.20):
(4.22)
Уравнение (4.22) связывает ускорение электрона с внешней силой - е .
Если предположить, что величина 2(d2E/dk2) имеет смысл массы,
то (4.22) приобретает вид второго закона Ньютона:
где - эффективная масса электрона.
Она отражает влияние периодического потенциала решетки на движение электрона в кристалле под действием внешней силы.
Электрон в периодическом поле кристаллической решетки движется под действием внешней силы в среднем так, как двигался бы свободный электрон под действием этой силы, если бы он обладал массой m*.
Таким образом, если электрону в кристалле вместо массы m приписать эффективную массу m*, то его можно считать свободным и движение этого электрона описывать так, как описывается движение свободного электрона, помещенного во внешнем поле. Разница между m* и m обусловлена взаимодействием электрона с периодическим полем решетки, и, приписывая электрону эффективную массу, мы учитываем это взаимодействие.
Пользуясь понятием эффективной массы, задачу о движении электрона в периодическом поле решетки можно свести к задаче о движении свободного электрона с массой m*.
Это значит, что вместо уравнения Шредингера с периодическим потенциалом
нужно решать уравнение .
Если, например, энергия является квадратичной функцией от , то её можно записать так
(4.23) ( как для свободного электрона).
Легко видеть, что для свободного электрона эффективная масса равна его обычной массе.
В этом случае связь между Е и ,
откуда получаем .
В общем случае эффективная масса является анизотропной величиной и для разных направлений волнового вектора различна. Она представляет собой тензор второго ранга