Известна расчетная схема вала, его поперечные размеры, допускаемое
напряжение.
Требуется определить величину допускаемой нагрузки.
Порядок расчета
• Разбивают вал на участки.
• Записывают выражения для крутящих моментов на участках вала.
• Строят эпюру крутящих моментов.
• Определяют полярные моменты сопротивления поперечных сечений вала.
• Определяют наибольшие крутящие моменты на участках вала по формуле:
Mz = Wr [t]. (12)
• Определяют величину допускаемой нагрузки.
Деформации при кручении
Рис. 7.
Характеристикой деформации при кручении является угол закручивания j(рис. 7) - это угол, на который поперечное сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению. В пределах упругих деформаций угол закручивания связан с крутящим моментом линейной зависимостью:
, (13)
где Mz – крутящий момент;
l – длина участка вала (расстояние между сечениями, относительный (взаимный) угол поворота которых определяется);
Ir – полярный момент инерции;
G – модуль сдвига.
Для определения угла поворота α,заданного сечения вала необходимо определить углы закручивания jучастков вала, расположенных между защемленным и рассматриваемым сечением и найти их алгебраическую сумму. Например угол поворота сечения А-А вала, представленного на рис. 9, равен:
αА-А = j3 + j4.
Мерой жесткости при кручении является относительный угол закручивания q(угол закручивания на единицу длины вала).
Следует отметить, что в отличие от допускаемого напряжения, зависящего в первую очередь от материала вала, допускаемый угол закручивания зависит от назначения вала.
Значения допускаемых углов закручивания, встречающихся в различных отраслях машиностроения, весьма разнообразны; наиболее распространены значения [q0] = (4,38…17,5) × 10-3 рад/м = 0,25…1,0 град/м.
Условие жесткости при кручении имеет вид:
. (14)
При проектном расчете отсюда определяют требуемое значение Ir , а затем из формул (2) и (3) вычисляют диаметр вала. Из двух значений диаметров вала, определенных из расчетов на прочность и жесткость, в качестве окончательного (исполнительного размера) должен быть, принят больший.
Изобразите графически схему вала, произведите расчет, эпюру крутящих моментов, определите поперечные размеры вала, проверьте жесткость вала заданной задачи согласно примеру.
Пример решения задачи
Пример № 1
Таблица 3
Исходные данные
m1
m2
m3
a
в
c
d
[t]
G
кН × м
м
МПа
0,4
0,5
0,5
0,3
0,2
0,1
8 × 104
Рис. 8.
Для заданной расчетной схемы вала требуется (рис. 8) построить: эпюру крутящих моментов, определить поперечные размеры вала; проверить жесткость вала. Исходные данные взять из табл. 3.
Решение
1. Разбиваем вал на четыреучастка. Границами участков являются сечения, в которых действуют внешние моменты и сечения, где изменяется диаметр вала.
2. Определяем крутящие моменты в поперечных сечениях каждого участка вала и строим их эпюру.
Мz1 = m3 = 0,5(кН×м);
Мz2 = m3 – m1 = 0,5 – 1 = -0,5;
Мz3 = m3 – m1 = 0,5 - 1 = -0,5;
Мz4= m3 – m1 – m2 = 0,5 - 1 -0,4 = -0,9 (кН×м).
Опасными участками вала являются I и IV участки:
3. Определяем требуемые полярные моменты сопротивления обеих ступеней вала:
Для заданной расчетной схемы вала требуется (рис. 9): построить эпюры крутящих моментов и касательных напряжений; проверить прочность вала. Определить угол поворота сечения вала, в котором изменяется его диаметр. Исходные данные взять из табл.4.
Таблица 4
Исходные данные
m1
m2
m3
a
в
c
[t]
G
d1
D2
кН × м
м
МПа
cм
0,3
0,4
0,2
0,3
0,2
0,4
8 × 104
4
5
Решение
1. Разбиваем вал на четыреучастка.
2. Определяем величины крутящих моментов в поперечных сечениях каждого участка вала:
; Мz1 = -m3 = -0,2;
Мz2 = -m3 – m2 = -0,2 – 0,4 = -0,6;
Мz3 = -m3 – m2 = -0,2 – 0,4 = -0,6 (кН×м);
Мz4 = -m3 – m2 + m1 = -0,2 – 0,4 + 0,3 = -0,3.
3. Определяем полярные моменты сопротивления поперечных сечений вала:
Рис. 9.
,
для участков 1 и 2:
,
для участков 3 и 4:
.
4. Определяем максимальные касательные напряжения в поперечных сечениях вала и строим их эпюру:
,
где Мz – крутящий момент; его значение берем из эпюры «Мz»:
МПа,
МПа,
МПа,
МПа.
Опасным является третий участок вала.
5. Вывод о прочности вала: так как tmax = 46.9 МПа < [t] = 55 МПа,то прочность вала обеспечивается.
6. Определяем полярные моменты инерции поперечных сечений 3-го и 4-го участков вала:
,
Ir = 0,1 × 44 = 25,6 см4.
7. Определяем углы закручивания III и IV участков вала: